Emerytury – trochę matematyki

Wyobraźmy sobie, że posłuchaliśmy pewnych polityków i zamierzamy sami zadbać o naszą emeryturę. Musimy więc zgromadzić w okresie naszej pracy odpowiednio wysoki kapitał, z którego będziemy później korzystać na starość – to znaczy, z którego wypłacana będzie nasza emerytura. Spróbujmy policzyć sobie o jakie sumy tu chodzi.

Już widzę przerażenie w oczach czytelników! Myszy już poruszają się aby zamknąć tę stronę… Proszę chwilę poczekać.
– Ale to kompletnie nuuuudne!!!
Nudne będzie jak w wyniku błędnej decyzji będziecie klepać biedę na starość!
– Ale przecież to jest wyższa matematyka, coś dla specjalistów!
Owszem, policzenie wszystkiego z dokładnością do jednego grosza i do jednego dnia, będzie bardzo trudne, praktycznie niemożliwe, ale można wyliczyć wszystko w przybliżeniu, z dostateczną precyzją, aby zorientować się o jakiego rzędu sumy tu chodzi. Wbrew pozorom, nie jest to także bardzo skomplikowane. Potrzebna jest jedynie podstawowa znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej. Niestety trzeba też trochę pomyśleć. Ale proszę się nie obawiać. Myślenie nie boli!

Wyobraźmy sobie, że nasze pieniądze lądują na koncie w banku i będą tam cały czas przebywały – najpierw w okresie naszej pracy będą na nie wpłacane nasze oszczędności, potem wypłacana będzie z niego nasza emerytura.

Popatrzmy zatem co będzie się działo na naszym koncie. Nasze elementy łamigłówki to:

K – kapitał, który zgromadziliśmy w okresie pracy, z którego wypłacana będzie nasza emerytura.

p – procent, na jaki ten kapitał jest oprocentowany.

n – ilość lat, przez które wypłacana będzie nasza emerytura lub wpłacane składki na nią.

E – nasza emerytura (roczna).

Na początek przyjmijmy, że nie wiemy jak długo będziemy żyć jako emeryci (musimy to zrobić, w końcu nikt tego nie wie), więc nasza emerytura musi być wypłacana bezterminowo. Musimy zatem w czasie naszego czasu pracy zgromadzić kapitał, z którego odsetki zapewnią nam żądany poziom życia. Załóżmy, że nie mamy wielkich ambicji i chcemy mieć miesięczną emeryturę w wysokości 1.000 PLN. Jako, że lokaty oprocentowane są w skali rocznej, musimy więc zgromadzić kapitał, z którego odsetki wyniosą 12 x 1.000 = 12.000 PLN. Załóżmy także, że nasza lokata oprocentowana jest na 3%.

Kapitał, jaki musi znajdować się na naszym koncie, łatwo więc wyliczyć:

\frac{12.000}{0,03}=400.000 PLN

Wyliczmy sobie zatem, jak musimy oszczędzać, aby zgromadzić taką sumę. Załóżmy, że pracować będziemy przez 30 lat, więc rocznie musimy oszczędzić:

\frac{400.000}{30}=13.333 PLN

Co daje miesięcznie:

\frac{13.333}{12}=1.111 PLN

Oczywiście takie wyliczenie nie jest dokładne, gdyż w międzyczasie nasze pieniądze są oprocentowane. Wyliczmy sobie zatem ile musielibyśmy miesięcznie oszczędzać, aby po 30 latach uzbierało się przy 3% oprocentowaniu 400.000 PLN.

Na nasze konto wpłacamy pewną sumę „k”, która leży na nim przez rok.

W pierwszym roku będzie to zatem:

K_1=k

Po upływie pierwszego roku, naliczono nam oprocentowanie za pierwszy rok i dodatkowo znów wpłacamy naszą szukaną sumę „k”:

K_2=k+K_1+K_1*p=k+k(1+p)

Dla uproszczenia, w miejsce (1 + p) wstawmy stałą „s” otrzymamy zatem:

K_2=k+k*s

Po trzecim roku:

K_3=k+K_2*s=k+(k+k*s)s=k+k*s+k*s^2

Dla dowolnej liczby lat będzie to zatem:

K_n=k+k*s+k*s^2+...+k*s^{n-1}

Mamy tu do czynienia z szeregiem geometrycznym, którego sumę możemy wyrazić wzorem:

K_n=k\frac{s^n-1}{s-1}

Z tego wzoru możemy wyliczyć sobie szukaną składkę:

k=K_n\frac{s-1}{s^n-1}=400.000\frac{1,03-1}{1,03^{30}-1}=8.391,61 PLN

A miesięcznie:

\frac{8.391,61}{12}=699,3 PLN

Przez 30 lat musielibyśmy zatem odkładać co miesiąc około 700 PLN, aby mieć na starość emeryturę w wysokości 1.000 PLN. Niech każdy popatrzy na swoje dochody i wydatki, i powie, czy jest to realne.

Nasze wyliczenie nie uwzględnia całego szeregu czynników, takich jak zmiana oprocentowania, inflacja, krach na giełdzie, zmiany w systemie monetarnym, bankructwa banków, choroby, niespodziewane wydatki itd., itp. Jeśli nie oszczędzamy w banku, ale nasze pieniądze jakoś inwestujemy, możemy je także stracić w wyniku błędnej inwestycji. Kto przeżył już kilkadziesiąt lat, ten wie, że w życiu nic nie jest stabilne i wszystko może się wydarzyć. Suma, za którą dzisiaj możemy kupić dom, za kilka lat może nie wystarczyć do kupna bochenka chleba.

Ktoś może jednak powiedzieć: gdy pójdę do piachu, nie zabiorę ze sobą tych 400.000 PLN. Nie mam dzieci-spadkobierców, więc państwo położy łapę na tych pieniądzach! Chcę uzbierać sumę, którą będę stopniowo wydawał na emeryturze. I tu znowu wracamy do pierwotnego pytania o długość naszego życia…

Ale spróbujmy wyliczyć sobie taki hipotetyczny przypadek. Wbrew pozorom nie jest to aż tak trudne.

Zakładamy, że potrzebny nam będzie kapitał „K”, który leży oprocentowany w banku na procent „p” i co roku, gdy naliczone zostaną procenty, pobieramy z konta naszą emeryturę „E”, za którą będziemy żyć przez cały rok. Zakładamy, że na emeryturze przeżyjemy 20 lat. Po upływie tego czasu nasz kapitał zostanie zużyty.

Jak już wspomniałem, po pierwszym roku nasz kapitał został powiększony o oprocentowanie, ale pomniejszony o wypłaconą nam emeryturę, z której będziemy żyć przez następny rok. Stan naszego konta możemy więc sobie wyliczyć (K1 – kapitał po pierwszym roku):

K_1=K+K*p-E=K(1+p)-E

Po drugim roku:

K_2=K_1+K_1*p-E=K_1(1+p)-E
Wstawiając wyliczone wcześniej K1 otrzymamy:
K_2=(K(1+p)-E)*(1+p)-E

Dla uproszczenia znów wstawmy w miejsce (1 + p) stałą s, otrzymamy więc:

K_2=(K*s-E)*s-E=K*s^2-E*s-E

Po trzecim roku:

K_3=K_2+K_2*s-E=(K*s^2-E*s-E)*s-E
Czyli:
K_3=K*s^3-E*s^2-E*s-E

Uogólniając dla dowolnej ilości lat:

K_n=K*s^n-E*s^{n-1}-E*s^{n-2}-...-E*s^2-E*s-E

Stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego:

K_n=K*s^n-E\frac{s^n-1}{s-1}

Założyliśmy, że na naszym koncie po upływie „n” lat nic nie zostanie, więc nasz kapitał Kn będzie wtedy równy zero:

K*s^n-E\frac{s^n-1}{s-1}=0

Teraz możemy więc wreszcie wyliczyć wielkość potrzebnego kapitału:

K=E\frac{s^n-1}{(s-1)s^n}=0

Po podstawieniu w miejsce „E” 12.000 PLN naszej rocznej emerytury, 20 lat w miejsce „n” i 3% oprocentowania w miejsce „1 + p” otrzymamy:

K=12.000\frac{1,03^{20}-1}{(1,03-1)1,03^{20}}=178.530 PLN

Pokazałem tutaj najprostsze wyliczenia dwóch przypadków emerytury. Każdy może wstawić do tych wzorów inne liczby i na tej podstawie wyliczyć swoją żądaną emeryturę.

Jak już wspomniałem wcześniej, musimy uwzględnić, że wyliczamy wielkość naszej emerytury na podstawie aktualnej wartości pieniądza. Nie jesteśmy w stanie powiedzieć, ile będzie warte za 30 lat nasze dzisiejsze przykładowe 1.000 PLN. Czy w ogóle będzie jeszcze istniała taka waluta!

Przez cały okres swego istnienia, ludzkość nie opracowała stabilnego systemu mierzenia i przechowywania wartości! A już prawdziwą tragedią jest, że ogromna większość tej ludzkości, w ogóle nie zdaje sobie sprawy z tego faktu!!! Wszystkie systemy monetarne, łącznie z obecnym, tylko w części spełniają to zadanie. Pseudonauka, zwana ekonomią, w ogóle się czymś takim nie zajmuje. Każdy dotychczasowy system monetarny służył zawsze albo jakiemuś władcy, albo – jak dzisiaj – grupie ludzi, która przy jego pomocy pasożytuje na społeczeństwie. Obecny system monetarny wykorzystywany jest także do kontroli i sterowania społeczeństwem, a w relacjach międzynarodowych – jako rodzaj broni.

Zbudowanie domu, naprawa samochodu lub zaśpiewanie piosenki jest wytworzeniem jakiejś wartości. Gdy nie znano jeszcze pieniędzy wymieniano bezpośrednio wartość za wartość – buty za chleb, ryby za mięso. Przy pomocy pieniędzy, wbrew pozorom, także wymieniamy wartość za wartość. Nie trzeba tych wartości wymieniać jednak bezpośrednio, można je przesuwać w czasie i dowolnie łączyć. Ktoś, kto zrobił buty, otrzymał za to pieniądze, które mógł zarobić ktoś inny pieczeniem chleba. Nie musi jednak za te pieniądze kupować chleba. Kto złowił ryby, także otrzymał pieniądze, które mógł otrzymać ktoś inny za wyhodowane przez siebie świnie. Ale także nie musi za nie kupować mięsa. Zadaniem pieniędzy jest więc niejako mierzenie i przechowywanie wytworzonych wartości. W przeciągu krótkiego czasu spełniają one to zadanie. Gdy ktoś jednak chce przesunąć wymianę w czasie, czyli wydać pieniądze później – oszczędza. Teoretycznie, po dłuższym okresie czasu powinien za zaoszczędzoną sumę otrzymać identyczną ilość wytworzonych przez innych wartości – za 30 lat kupić tę sama ilość chleba co dzisiaj, tę samą ilość mięsa. Tak jednak nie jest. Po części jest to normalne, gdyż na przykład postęp techniczny i zmieniające się metody produkcji, powodują potanienie wyrobów. Z drugiej strony wyczerpujące się zasoby niektórych surowców i źródeł energii powodują wzrost cen innych wyrobów. Chociażby z tych dwóch przyczyn ceny nigdy nie są stabilne. Chodzi mi tu jednak o tak zwaną siłę nabywczą pieniądza. W dłuższym okresie czasu nie jest ona stała. Zawsze maleje. Co gorsza nie mamy nawet pewności, czy zaoszczędzone dzisiaj pieniądze będą za 30 lat w ogóle istniały!

Dokładniej próbuję wyjaśnić to tutaj. Obecny system monetarny umożliwia nam oszczędzanie jedynie na względnie krótki okres czasu. Wartość naszych oszczędności w dłuższych przedziałach czasowych ulega ogromnym zmianom (zawsze na naszą niekorzyść). Dlatego samodzielne oszczędzanie na emeryturę związane jest zawsze z dużym ryzykiem. Poza tym musimy samodzielnie zarządzać zgromadzonymi funduszami. Na starość może to być niemożliwe. Ze względu na demencję i choroby możemy nie być w stanie samodzielnie to wykonywać! Chociażby z tych właśnie powodów bezpieczniej jest zdać się na system ZUS-owski. Emerytury zawsze dopasowywane są do aktualnych średnich zarobków w kraju i będziemy ją otrzymywać nawet wtedy, gdy nie będziemy wiedzieli co się wokół nas dzieje. Zadaniem mediów powinno być zatem nie ogłupianie społeczeństwa, ale jego mobilizacja do nacisku na poprawę organizacji ZUS-u i obniżkę kosztów jego funkcjonowania oraz usprawnienie i likwidację luk w poborze składek. Niestety, zdaję sobie sprawę, że są to tylko pobożne życzenia!

Osoby o większych dochodach zawsze mogą zaryzykować i odłożyć część zarobków jako dodatek do przyszłej emerytury. W niektórych państwach istnieją pewne sposoby oszczędzania na ten cel. Są to zwykle formy ubezpieczenia na życie, które muszą spełniać określone przez państwo warunki odnośnie bezpieczeństwa wkładów. Firmy, które je oferują nie mogą spekulować nimi na giełdzie. Muszą je możliwie bezpiecznie zainwestować. Zwykle robią to inwestując w nieruchomości lub obligacje państwowe. Jednak przyznaje się półoficjalnie, że nawet te metody oszczędzania przynoszą oszczędzającym jedynie straty. Po prostu, identycznie jak w przypadku OFE, ich celem jest nie dobro oszczędzających, ale przyniesienie maksymalnego zysku firmom oferującym je.

Advertisements